Definicja ciągu
Idea ciągu, w różnej formie, towarzyszy każdemu z nas w dniu codziennym. Kolejka do lekarza, układ haseł w encyklopedii, czy cyfry tworzące numer konta bankowego, to wszystko są przykłady ciągów. Widzimy jednak różnicę między ciągiem będącym np. alfabetyczną listą studentów w grupie, a ciągiem, który jest spisem dat w kalendarzu. Jeden z nich jest z konieczności ciągiem skończonym, tzn. posiadającym skończoną liczbę wyrazów, a drugi wydaje się ciągnąć w nieskończoność.
Z matematycznego punktu widzenia układ liczb lub innych obiektów (niekoniecznie matematycznych) tworzy ciąg, jeżeli każdemu elementowi przypiszemy jednoznacznie odpowiadające mu miejsce w ciągu, czyli liczbę naturalną. Najbardziej oczywistym przykładem ciągu liczbowego są liczby naturalne, ponieważ wartość liczby jednocześnie podaje numer miejsca, na którym ona stoi w ciągu.
Widzimy, że na każdym miejscu, opisanym przez kolejną liczbę naturalną ustawiamy wyrazy ciągu, które w przykładzie są wielokrotnościami liczby \( 3 \). Procedura taka może oczywiście zatrzymać się w pewnym miejscu, ale może też ciągnąć się w nieskończoność.
Definicja 1: Ciąg liczbowy
Definicja 2: Ciąg skończony
Przykład 2: Skończone ciągi liczbowe
b) \( (b_n ) \) jest ciągiem cyfr w zapisie dwójkowym liczby \( 2014 \), czyli \( (b_n )=(1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0) \) jest \( 11 \)-wyrazowym ciągiem zero-jedynkowym
c) \( (c_n) \) jest ciągiem kolejnych dwucyfrowych liczb pierwszych, czyli \( (c_n)=(11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,97) \) jest \( 22 \)-wyrazowym ciągiem liczb dwucyfrowychDefinicja 3: Ciąg nieskończony
b) \( (b_n) \) jest nieskończonym ciągiem pól figur, które tworzymy następująco: w kwadrat o boku \( 1 \) wpisujemy koło, w powstałe koło wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy kolejne koło itd., czyli \( (b_n )=(1,\frac{π}{4},\frac{1}{2},\frac{π}{8},\frac{1}{4},\frac{π}{16},…) \)
c) \( (c_n ) \) jest ciągiem Fibonacciego tzn. dwa pierwsze wyrazy ciągu równe są \( 1 \), a każdy następny jest sumą dwóch wyrazów poprzednich, czyli \( (c_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,…) \)
Komentarz
Zgodnie z definicją ciągu możemy podawać ciąg jako funkcję, czyli podać wzór \( n \)-tego wyrazu ciągu np. w przykładzie Idea tworzenia ciągu liczbowego wzór na \( n \)-ty wyraz to \( a_n=3n \), a w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe a) \( a_n=\frac{1}{3^{n-1} } \). Zaletą takiego określenia ciągu jest to, że możemy natychmiast wyliczyć dowolny wyraz ciągu podstawiając do wzoru odpowiednie \( n \in \mathbb{N} \). Inną z możliwości jest opisanie metody jak należy szukać kolejnych wyrazów ciągu, np. w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe b) szukamy kolejnych figur geometrycznych zgodnie z opisem, a następnie wyliczamy ich pola. Możemy również podać procedurę jak tworzyć kolejne wyrazy ciągu za pomocą wyrazów poprzednich, tzw. procedurę rekurencyjną, należy pamiętać jednak o podaniu wartości odpowiedniej ilości wyrazów początkowych tak, aby procedura mogła wystartować, np. w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe c) procedurę można opisać następująco
Wadą tej metody określania ciągu jest to, że musimy znać wyrazy poprzednie ciągu, aby wyliczyć wyraz kolejny, co oczywiście jest w praktyce niewygodne, gdy chcemy obliczyć wyraz dla dużego \( n \). Kolejną często spotykana metodą zadania ciągu jest podanie kilku jego początkowych wyrazów, tak, aby można było zauważyć schemat tworzenia wyrazów następnych, np. przykład Nieskończone ciągi liczbowe a), w którym widać, że każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego przez przemnożenie go przez \( \frac{1}{3} \). Przy tej metodzie wadą jest to, że należy podać odpowiednio dużo wyrazów początkowych, żeby można było zauważyć schemat, a następnie sprawdzić, czy jest poprawny.
Definicja 4: Metody określania ciągu
- podanie wzoru na \( n \)-ty wyraz ciągu, np. \( a_n =\frac{1-\sqrt[3]{n^2+1}}{\log_3{(n+3)}} , a_n=\frac{6n-8}{4+\sqrt{\arcsin(n^{-2})}} \)
- podanie wzoru rekurencyjnego, np. \( \left\{\begin{array}{c} a_1=3\\ a_{n+1}=6 – 2a_n +\sqrt{1+a_n } \end{array}\right. , \hspace{1em} \left\{\begin{array}{c} a_1=1\\ a_2=2\\ a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{array}\right. \)
- opisanie sposobu tworzenia kolejnych wyrazów, np. \( a_n \) jest kolejnym wyrazem rozwinięcia dziesiętnego liczby \( \sqrt{5} \)
- podanie kilku wyrazów początkowych ciągu, aby wiadomo było, według jakiej zasady należy tworzyć wyrazy następne, np.: \( (a_n )=(\frac{1}{2},\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5},…). \)
Zgodnie z definicją ciągu, może on być przedstawiony graficznie w postaci wykresu, gdzie na osi odciętych zaznaczamy kolejne liczby naturalne i w układzie współrzędnych zaznaczamy punkty \( (n,a_n) \). Widzimy więc, że wykres ciągu składa się z izolowanych punktów w układzie współrzędnych.
Wadą takiej graficznej interpretacji ciągu jest to, że zawsze możemy zobaczyć tylko kilka początkowych wyrazów ciągu, czyli w sytuacji, gdy interesować nas będzie zachowanie się ciągu dla bardzo dalekich wyrazów, taka interpretacja jest bezużyteczna. Wygodniej będzie przedstawiać ciąg tylko na osi rzędnych, czyli zrzutować prostopadle punkty reprezentujące wyrazy ciągu na tę oś. Zauważmy, że ten drugi sposób pozwala na umieszczenie na Rys. 1 większej ilości wyrazów ciągu.
Definicja 5: Interpretacja geometryczna ciągu